Analisi Matematica II è il primo modulo del corso annuale
717AA - Analisi Matematica II e Calcolo Numerico.
Il modulo Analisi Matematica II ha una durata di 60 ore e si terrà nel primo semestre.
Prima lezione: mercoledì 29 settembre 2021, ore 15:00.
Il voto finale di Analisi Matematica II e Calcolo Numerico sarà ottenuto come media dei voti dei due moduli
Analisi Matematica II e Calcolo Numerico. Solo la media finale potrà essere registrata sul libretto elettronico.
Visto che i voti di ogni modulo non vengono registrati, ma vengono conservati in database gestiti in maniera indipendente dai singoli docenti,
non possiamo garantire una conservazione di lunga durata. Al momento non è prevista una scadenza netta,
ma è fortemente consigliato di sostenere gli esami relativi a entrambi i moduli nel corso dello stesso anno accademico.
Per esempio, gli studenti che hanno sostenuto l'esame di Analisi II tra dicembre 2020 e settembre 2021 sono consigliati di
sostenere l'esame di Calcolo Numerico tra giugno 2021 e maggio 2022.
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso.
Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato.
In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto.
Capitolo 1. Elementi di topologia.
Lo spazio euclideo.
Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare.
Convergenza di successioni e successioni di Cauchy.
Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Insiemi compatti e compatti per successioni.
Funzioni continue.
Composizione di funzioni continue.
Funzioni continue su insiemi compatti.
Teorema di Weierstrass.
Insiemi connessi per archi.
Teorema del valore intermedio.
Docente: Prof. Tortorelli
Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.
Funzioni derivabili e derivate parziali.
Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi.
Differenziabilità, derivabilità e continuità.
Teorema del differenziale.
Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz.
Composizione di funzioni differenziabili.
Formula per le derivate parziali della funzione composta.
Matrice Hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine.
Punti critici.
Massimi e minimi relativi e assoluti.
Condizioni necessarie e sufficienti.
Punti critici.
Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative.
Matrici definite positive e matrici definite negative.
Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa.
Massimi e minimi locali sul bordo di un insieme regolare.
Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine.
Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare.
Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita).
Massimi e minimi vincolati.
Moltiplicatori di Lagrange.
Teorema della funzione inversa.
Docente: Prof. Tortorelli
Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.
Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme.
Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione.
Prodotto esterno.
Differenziale di una funzione.
Derivata esterna di una forma differenziale.
Forme chiuse e forme esatte.
Le forme esatte sono chiuse.
Esempio di una forma chiuse che non è esatta.
Integrazione di 1-forme su curve.
Curve chiuse, semplici, regolari a tratti.
Concatenamento e curve opposte.
Integrale di 1-forme su curve.
Integrazione di forme esatte su curve chiuse.
Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale.
Lemma di Poincaré sui rettangoli.
Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati.
Domini diffeomorfi e forme differenziali.
Insiemi semplicemente connessi.
Integrazione di funzioni su curve.
Integrale di una funzione continua su una curva.
Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate.
Lunghezza di una curva.
Docente: Prof. Velichkov
Capitolo 4. Integrazione.
Integrale di Riemann su un dominio rettangolare.
Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore.
Integrale di Riemann superiore e inferiore.
Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari.
Teorema di Fubini su domini rettangolari.
Definizione di integrale su un insieme limitato.
Domini normali.
Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale.
Teorema di Fubini in domini normali.
Formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza.
Orientazione in dimensione due.
Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario.
Formula di Stokes.
Cambio delle variabili in dimensione due.
Integrazione in coordinate polari nel piano.
Integrazione su superfici parametriche.
Formula di Stokes per le superfici.
Prodotto vettoriale in dimensione tre.
Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre.
Integrazione di funzioni su superfici.
Teorema del rotore.
Docente: Prof. Velichkov